가십 행렬의 유도

원본 문서는 라텍스 배합표를 정상적으로 표시할 수 없으므로 하나씩 만들어 원래 배합표를 유지합니다. 원문은 가십 행렬에서 파생된 것이다.

행렬의 유도는 많은 분야에서 볼 수 있다. 통계, 경제학, 최적화, 기계 학습 등. 목표 문제에 대한 수학적 모델을 설정한 후 문제는 종종 매트릭스에 대한 최적화 문제로 추상화됩니다. 따라서 불가피하게 행렬 유도와 같은 연산을 해야 한다.

이러한 계산에 익숙한 대부분의 사람들은 벡터와 행렬의 간단한 파생물을 직접 쓸 수 있어야 하지만 복잡한 행렬 함수에 대한 가이드는 그렇게 간단하지 않습니다. 유명한 매트릭스 식단은 연구자들에게 단순에서 복잡한 행렬과 벡터에 이르는 다양한 도수를 포함하는 큰 사전을 제공하지만, 호기심이 나만큼 무거우면 사전을 찾는 방법에 만족하지 않을 것이다. 특히 유도된 공식이 단숨에 하늘을 날 때는 더욱 그렇다. (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 지혜명언) (윌리엄 셰익스피어, 햄릿, 지혜명언)

사실, 모든 유도 규칙은 가장 기본적인 유도 규칙에서 파생 될 수 있습니다. 여러분도 눈치 채셨는지 모르겠지만, 문서마다 같은 공식의 결과가 다를 때가 있습니다. 자세히 보면 단 하나의 이전이 있다는 것을 알 수 있기 때문에 먼저 도수의 두 파벌 (배치) 에 대해 이야기해야 한다.

왜 이렇게 이름을 지었는지 모르겠다. 간단히 말해서, 행렬 유도에는 분자 레이아웃과 분모 레이아웃의 두 가지 레이아웃이 있습니다.

이 두 레이아웃의 차이를 명확히 하기 위해 가장 간단한 파생 규칙을 살펴 보겠습니다.

먼저 벡터 YY 는 스칼라 xx 의 도수를 취합니다. 우리는 모든 벡터가 열 벡터라고 가정합니다.

분자 배열 아래,

분모 레이아웃에서

다음은 분모 레이아웃 아래의 정의입니다.

이 섹션에서는 규칙보다는 정의라고 하는 몇 가지 기본적인 파생 규칙을 볼 수 있습니다. 그래서 이 부분은 좋은 이해와 기억이 필요하다. (한 번 봐도 기억이 나지 않는다면).

스칼라! $ \ mathrm {\ mathbf {y}} $ pairvector! $x$ 의 출처:

스칼라 대 벡터의 도수와 벡터 대 스칼라의 도수가 정반대라는 점에 유의하십시오.

벡터 대 벡터의 미분,

사실, 스칼라의 모든 미분에 대해 결과 형식은 회전해야 하며 벡터 및 행렬 안내에 대해서는 스칼라의 위치가 그대로 유지됩니다. 이 요약은 우리가 기억하기 쉽다.

일반적으로 행렬과 벡터를 포함하는 유도는 5 가지 범주에 불과하다.

다음으로 몇 가지 일반적인 파생 상품을 살펴 보겠습니다.

먼저! $ \ frac {\ partial \ mathbf {ax}} {\ partial \ mathbf {x}} $,

주의하다

이론적으로, 어떤 표현식이든, 우리는 정의에서 출발하여 위의 형식으로 도출할 수 있다.

하지만 좀 더 복잡한 파생품에 대해서는, 이번에는 하나씩 분석해서 그다지 믿을 수 없을 것 같다.

파생 상품 분류의 처음 세 가지 범주를 살펴 보겠습니다. 이 세 가지 유형의 문제에 대해 차원을 분석하여 결과를 얻을 수 있는 매우 강력한 방법을 살펴보겠습니다.

1,

만약! $ \ mathbf {a} \ in \ mathbb {r} {m \ timesn}, \ mathbf {u} \ in \ mathbb {r}

우리는 최종 결과가 분명히 같다는 것을 안다! $ \ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial \ mathbf {x}} $ 와 관련이 있습니다. 참고! $ \ frac {\ partial \ mathbf {u}} {\ partial \ mathbf {x}} \ in \ mathbb {r} {p $\mathbf{A}$ 은 (는) 나중에 덤프 및 추가할 수 있으므로

A 와 u 는 x 와 관련된 스칼라입니다.

또한! $ \ frac {\ partial a \ mathbf {u}} {\ partial \ mathbf {x}}, a \ text {} $ and! $\mathbf{x}$ 관련 스칼라, 가정! $ \ mathbf {u} \ in \ mathbb {r} {m \ times1}, \ mathbf {x} \ in \ Partial \ mathbf {u}} {\ partial \ mathbf {x}} $,다음 부분은! $ \ frac {\ partiala} {\ partial \ mathbf {x}} \ in \ mathbb {r} {n \ times/kloc $\mathbf{u}$ 형식의 곱은 분석 차원을 통해서만 찾을 수 있습니다! $ \ frac 섹션 a} {\ partial \ mathbf {x}} \ mathbf {u} {\ mathrm {t}} $

그래서

우리는 제품 규칙의 정확한 형식이 행렬 유도에 적용될 수는 없지만, 이 부정확 한 제품 규칙은 결과에 확실히 나타날 항목을 정확하게 알려줄 수 있으며, 그런 다음 차원을 분석하여 결과를 쓸 수 있음을 발견했습니다.

다시 봐! $ \ frac {\ partial \ mathbf {x}} \ mathbf {ax}} {\ partial \ mathbf {x}} $,여기서 $\mathbf{A}$ 및! $\mathbf{x}$ 는 관련이 없습니다.

이 문제를 분석하기 위해서, 우리는 좀 더 일반적인 문제를 고려한다.

우리는 부정확 한 제품 법칙으로 이것을 두 부분으로 나눌 수 있습니다.

그래서 이 결과는 두 부분과 관련이 있습니다. 하나는

, 다른 하나는

마찬가지로, 차원을 분석함으로써 우리는

그래서

마지막으로, 공식을 보세요.

그래서,

주의하다

그래서 (주의! $ \ mathbf {x} {\ mbox {t}} \ mathbf {b} \ in \ mathbb {r} $),

다음으로 다섯 가지 유형 중 나머지 두 가지를 살펴보겠습니다. 실제 문제에서, 주로 행렬 추적을 이용하여 행렬을 유도하는 것이다. 앞서 우리는 행렬의 유도에 정확한 곱 법칙이 없다는 것을 이미 보았다. 우리는 부정확한 곱 법칙을 통해서만 단일 항목에 포함된 항목을 분석한 다음 치수 분석을 통해 결과를 얻습니다. 그러나 한 가지 경우, 곱의 법칙은 정확하다. 이제 이 예시, 흔적의 미분을 살펴보겠습니다. 왜냐하면 미분 형태에서는

다음과 같습니다.

기억을 편리하게 하고 혼동을 막기 위해, 우리는 간단히 다음 세 가지 공식을 동일시한다.

같음

이것은 분자 레이아웃입니다. 해당 분모 레이아웃은 다음과 같아야 합니다.

기억과 혼동을 막기 위해, 우리는 단순히

그리고

직등하다.

따라서 모든 추적 형식의 행렬에 대한 미분은 먼저 미분형식으로 변환됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

사실 아주 간단합니다. 이해를 깊게하기 위해 몇 가지 예를 살펴 보겠습니다.

먼저 매우 유용한 흔적의 성질을 회상해 보세요.

그래서,

그래서

이것은 행렬 유도의 소개이다. 그 목적은 매뉴얼을 보는 번거로움을 피하기 위해 이 공식들을 어떻게 더 빠르고 더 잘 추론할 수 있는지를 알려주는 것이다. 물론, 당신이 완전한 엔지니어라고 생각한다면 수첩을 찾아보는 것이 편리하다면, 당신의 방식대로 계속 살아라. 유용하다고 생각되면 계속해 주세요. 수학은 재미있습니다!