역설이란 무엇인가? 어떤 유명한 역설이 있습니까?

논리학에서 두 개의 모순 명제를 동시에 추론하거나 증명할 수 있는 이론 체계나 명제를 가리킨다. 역설의 정의는 다음과 같이 표현할 수 있다. 사실로 인정받는 명제를 바탕으로 B 로 설정하고, 정확한 논리적 추리를 거쳐 전제와 모순되는 명제를 도출하는 것은 B 가 아니다. 반면에, B 가 아닌 전제하에 B 를 추론할 수도 있다. 그렇다면 명제 B 는 역설이다. 물론 비 B 도 역설이다. 우리는 일부 제정되거나 합의된 공리규칙에 근거하여 명제의 진가를 판단하거나 증명할 수 있지만, 우리가 제정되거나 합의된 공리규칙에 근거하여 일부 명제의 진가를 판단하거나 증명할 때, 때때로 풀 수 없는 역설이 나타날 수 있다. 이 상황은 무엇을 의미합니까?

자연계는 전체적으로 다양성을 포함하고 있지만, 우리는 이러한 상황을 무시하고, 특히 우리의 관심사에 속하는 특수한 상황에 초점을 맞추고 있다. 특수한 상황이 다른 상반된 상황이나 보편성을 지닌 일반적인 상황에 부딪히면 필연적으로 모순된 결론이 나올 것이다. 수학 기초에 큰 위기 충격을 준 것은 수학 역설이 아니라 논리와 이해에 큰 영향을 미쳤다.

무한 집합 자체는 모호한 개념이다. 유한한 것은 집합이라고 할 수 있고, 무한함은 집합이라고 부를 수 없다. 집합이란 일정 범위 내에서 무한이란 범위가 무한하다는 것을 의미하고, 그렇지 않으면 무한이라고 부르지 말고 제한해야 한다. 무한대는 임의의 선택이나 적용 범위가 아니어야 하며, 한 양이 인간이 달성하거나 이해할 수 있는 수준을 초과하면 무한대의 범위로 들어간다. 지금까지 인간은 우리가 인식할 수 있는 반경이 얼마나 큰지 완전히 알지 못했기 때문에 무한과 유한한 경계를 정확하고 정확하게 정의할 수 없었다.

컬렉션의 개념 자체는 제한되지 않은 개념입니다. 총집은 임의로 몇 개의 세트로 나눌 수 있는데, 모두 세트이다. 정확히 말하자면, 우리는 그 의미를 전제로 그것이 집합인지 아닌지 모른다.

하위 집합에는 역설이 있거나 다른 집합과의 역설이 있으며, 상위 집합과 하위 집합 사이에는 역설이 있습니다. 각 특정 하위 집합에는 고유한 규칙이 있기 때문입니다. 이러한 규칙은 해당 범위 내에서만 유효합니다. 범위를 벗어나면 무효가 됩니다. 이것은 항상 불가피하거나 취소됩니다. 클래스의 집합 수준 구분을 취소하지 않는 한 특정 사물에 대한 태도가 맞지 않아 실제 응용 프로그램 요구 사항을 충족시킬 수 없습니다. 게다가, 집합의 본의와 인용의는 종종 혼동되어 있으며, 때로는 요소의 의미와 혼동되기도 한다. 집합은 저급한 원소에 해당하며, 상승할 때는 집합이고, 다시 상승할 때는 원소이며, 누적된다.

그것들이 관련이 없을 때, 러셀 역설은 효과가 있다. 그것들이 서로 연결되어 있을 때, 즉 하나의 클래스나 전체가 된 경우, 두 가지 측정 기준이나 규정은 하나의 클래스나 하나의 전체에서 허용되지 않거나 실행될 수 없습니다. 자기 부정은 아무 말도 하지 않는 것과 같다. 혹은 아무 말도 하지 않는 것과 같다. (서양속담, 자기관리속담)

1 차 논리의 고델의 완비성 정리와 불완전성 정리 자체가 역설이며 논리가 가져온 문제를 드러낸다. 고델의 불완전성 정리는 판단력이 부족하거나, 의사결정의 주도적 측면을 기준으로 하거나, 기준이 너무 많아 생긴 역설이다. 표준이라고 하는 것도 규정이다. 실패 후 실제 필요에 따라 새로운 규칙을 다시 정할 수 있다. 어차피 원래의 규칙도 규정이다. 역설이 발생한 후 실제 응용의 요구를 충족시키기 위해 규칙을 다시 정할 수 없는 이유는 무엇입니까? 분명히 너 자신의 규칙인데, 너는 오히려 새로운 규칙을 만들어 원래의 규칙을 깨뜨린다. 만약 네가 이렇게 일한다면, 항상 해야 할 일이 있고, 항상 할 수 없는 일이 있을 것이다.

계급은 인위적으로 구분되지만 계급은 필요에 따라 인위적으로 창조된 것이다. 만약 그들이 분류된다면 계급은 다르다. 전반적으로, 비슷한 것과 다른 것은 없다. 계급이 다르기 때문에 숫자도 다르고, 어떤 차이는 반대이며, 이것은 정상적이고 필연적이다. 그러나 사람이 클래스와 수 사이를 전환하려면 새로운 규칙을 다시 제정해야 한다.

증명은 미리 정해진, 사상의 규정에 따라 조작될 뿐, 반드시 규정에 부합할 것이다. 우리는 단지 규정에 따라 조작하고 집행할 뿐이다. 증명의 역할이나 의미는 무엇입니까? 계급 역설은 증명하면 해결될 수 있는 것이 아니다.

역설은 수학에서 광범위하고 엄격하게 정의된 가지의 일부이며, 이 분기는' 재미있는 수학' 으로 유명하다. 이것은 게임 색깔이 매우 강하다는 것을 의미한다. 그러나 모든 위대한 수학자들이' 수학 재미' 라는 문제를 경멸한다고 생각하지 마라. 오일러는 다리를 건너는 수수께끼를 분석하여 토폴로지의 기초를 다졌다. 라이프니츠는 혼자 스틱게임 (작은 사각형에 작은 나무토막을 꽂는 게임) 을 할 때 문제를 분석하는 재미도 썼다. 힐버트는 절단 기하학의 많은 중요한 정리를 증명했다. 폰 뉴먼은 게임 이론의 기초를 다졌다. 가장 유행하는 컴퓨터 게임' 생활' 은 유명한 영국 수학자 콘웨이가 발명한 것이다. 아인슈타인은 수학 게임과 지능 게임에 관한 책꽂이 전체를 수집했다.

Paradox 는 "많이 생각하다" 를 의미하는 그리스어 "para+dokein" 에서 유래했다. 이 단어의 의미는 풍부하고, 인간의 직관과 일상적인 경험과 모순되는 모든 수학적 결론을 담고 있으며, 그 결론은 우리를 경탄하게 한다. 역설은 모순된 명제이다. 즉, 이 명제가 인정되면, 그 부정적인 명제가 성립되었다고 추론할 수 있다. 반면에, 이 명제의 부정적인 명제를 인정한다면, 이 명제의 성립을 추론할 수 있다. 만약 그것이 사실이라는 것을 인정한다면, 일련의 정확한 추리를 거쳐 결론은 거짓이다. 만약 네가 그것이 거짓이라는 것을 인정하고, 일련의 정확한 추리를 거친다면, 그것은 사실이다. 동서고금에 많은 유명한 역설이 있는데, 이들은 논리와 수학의 기초에 충격을 주고, 사람들의 지식과 정확한 사고를 자극하며, 예나 지금이나 많은 사상가와 애호가들의 관심을 불러일으켰다. 역설 문제를 해결하려면 창의적인 사유가 필요하지만 역설의 해결은 종종 새로운 사고를 가져다 줄 수 있다. (윌리엄 셰익스피어, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설)

최초의 역설은 고대 그리스의' 사기꾼 역설' 으로 여겨진다.

이 단락의 원칙을 편집하다

동시에 두 개 이상의 동시에 성립될 수 없는 전제는 모든 역설 문제의 동일한 특징이다.

일반적으로 역설은 형식적인 갈등, 즉 특수한 이데올로기 규정의 산물이기 때문에 사물의 변증적 성격을 직접 반영할 수 없다. 더욱이, 우리는 그것들을' 특별한 객관적인 진리' 라고 말할 수 없고,' 왜곡된 진리' 라고 할 수 밖에 없다.

따라서 역설은 본질적으로 객관적인 현실의 변증성과 주관적 사고의 형이상학과 형식 논리화 방법 사이의 모순의 집중 표현이다. 구체적으로 객관적 세계의 일부 또는 측면으로서 인식이나 이론 (수학 이론과 의미 이론) 의 연구 대상은 종종 변증성, 즉 대립관계의 통일성을 가지고 있다. 그러나 주관적인 사고 방식의 형이상학적 또는 형식적 논리화의 한계로 인해 객관적 대상의 변증성은 인식 과정에서 왜곡되는 경우가 많다. 대립통일의 고리는 절대적으로 갈라지고 일방적으로 과장되어 절대적이고 경직된 정도에 이르므로 변증적 통일이 절대 대립이 된다. 그것들을 기계적으로 다시 연결한다면, 대립 고리 사이의 직접적인 충돌은 불가피하다. 이것이 바로 역설이다.

형식

역설에는 세 가지 주요 형식이 있다.

1 .. 단언은 틀린 것 같지만 사실은 옳다.

2. 단언은 확실히 옳아 보이지만 사실은 틀렸다 (그럴듯한 이론).

3. 일련의 추론은 깨지지 않는 것처럼 보이지만 논리적 모순으로 이어진다.

유형

역설은 주로 논리적 역설, 확률 역설, 기하학적 역설, 통계적 역설, 시간 역설을 포함한다.

러셀 역설은 그 간단명료함으로 수학 분야 전체를 놀라게 하여 제 3 의 수학 위기를 초래했다. 그러나 러셀 역설은 첫 번째 역설이 아니다. 말할 필요도 없이, 러셀이 있기 얼마 전에, 콘토르와 브라리 40 은 집합론의 모순을 발견했다. 러셀 역설이 발표된 후 일련의 논리적 역설이 나타났다. 이 역설들은 나에게 고대의 사기꾼의 역설을 생각나게 한다. "나는 거짓말을 하고 있다" "이 말은 거짓말이다." 이러한 역설의 결합은 이러한 역설을 어떻게 해결할 수 있는지에 대한 관심을 불러일으키게 하는 큰 문제를 야기했다. (윌리엄 셰익스피어, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설)

첫 번째로 발표된 패러독스는 브라리 40 패러독스로 서수가 자연순서에 따라 질서 정연한 집합을 형성한다는 뜻이다. 이 좋은 순서 집합은 정의에 따라 서수 Ω도 있는데, 정의에 따라 이 좋은 순서 세트에 속해야 한다. 그러나 서수의 정의에 따르면 서수 시퀀스의 임의 단락의 서수가 해당 세그먼트 내의 어떤 서수보다 크면, 오메가 어느 서수보다 커야 하므로 오메가 아니다. (알버트 아인슈타인, 서수, 서수, 서수, 서수, 서수, 서수, 서수) 이것은 브라리 포티가 1997 년 3 월 28 일 발로모 수학회의에서 낭독한 문장 중 한 편에 제기된 것이다. 이것은 최초로 발표된 현대 역설로 수학계의 흥미를 불러일으켰으며, 이후 여러 해 동안 열띤 토론을 불러일으켰다. 역설을 논의하는 문장 수십 편은 집합론의 기초에 대한 재검토를 크게 촉진시켰다.

Blary Foday 본인은 이 모순이 이 서수의 자연순서가 단지 편순서일 뿐, 몇 달 전에 증명된 결과 서수세트와 모순된다는 것을 증명했다고 생각한다. 나중에 Blary Foday 도 이 방면의 일을 하지 않았다.

러셀은 그의' 수학 원리' 에서 서수 집합이 전부이지만, 좋은 순서는 아니지만, 이런 견해는 믿을 수 없다. 주어진 서수의 첫 번째 단락은 모두 좋은 순서이기 때문이다. (알버트 아인슈타인, Northern Exposure (미국 TV 드라마), 과학명언) 프랑스 논리학자 조어 딘이 탈출구를 찾았다. 그는 호환 세트와 비호환 세트를 구별했다. 이런 구분은 실제로 칸토르가 개인적으로 여러 해 동안 사용해 왔다. 얼마 지나지 않아 러셀은 1905 의 한 문장 중 서수 집합의 존재성에 의문을 제기했고, 제멜로도 같은 생각을 했고, 나중에는 이 분야에서도 많은 사람들이 같은 생각을 했다.

고전 수학의 역설

동서고금에 많은 유명한 역설이 있는데, 이들은 논리와 수학의 기초에 충격을 주고, 사람들의 지식과 정확한 사고를 자극하며, 예나 지금이나 많은 사상가와 애호가들의 관심을 불러일으켰다. 역설 문제를 해결하려면 창의적인 사유가 필요하지만 역설의 해결은 종종 새로운 사고를 가져다 줄 수 있다. (윌리엄 셰익스피어, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설)

이 글은 역설을 대략 여섯 가지 유형으로 나누어 상 중 다음 세 부분으로 나누었다.

첫 번째 부분: 자기 손가락 개념으로 인한 역설과 무한한 도입으로 인한 역설

(a) 자기 참조로 인한 역설

다음 예에는 자기 손가락이나 자기 상관이라는 개념이 있습니다. 만약 우리가 긍정적인 명제에서 출발한다면, 그 음의 명제를 얻을 수 있습니다. 만약 우리가 부정적인 명제로 시작한다면, 우리는 그것의 긍정적인 명제를 얻을 것이다.

1- 1 사기꾼 역설

기원전 6 세기에 철학자 에피미니데스에 사는 한 크리티족은 "모든 크리티족은 거짓말을 하고, 그들 중 한 시인도 그렇게 말한다" 고 말했습니다 이것이 바로 이 유명한 역설의 유래이다.

"박용수족의 한 현지 예언자는' 켈트족은 거짓말을 자주 하지만 그들은 악한 야수, 탐욕스럽고 게으르다' 고 말했다." —디도 1. 이 역설이 유명하다는 것을 알 수 있지만, 폴은 그것의 논리적 해법에 관심이 없다.

사람들은' 에피미니데스가 거짓말을 하고 있나요?' 라고 묻습니다. 이 역설의 가장 간단한 형태는 다음과 같습니다.

1-2 "나는 거짓말을 하고 있다"

만약 그가 거짓말을 하고 있다면,' 내가 거짓말을 하고 있다' 는 것은 거짓말이다. 그래서 그가 말한 것은 진실이다. 그러나 이것이 사실이라면, 그는 또 거짓말을 하고 있다. 모순은 불가피하다. 그것의 사본:

1-3 "이 말은 틀렸다"

이 역설의 표준 형태 중 하나는 이벤트 A 가 발생하면 비 A 가 파생되고, 비 A 가 발생하면 A 가 파생되는 것입니다. 이는 자기 모순의 무한 논리 루프입니다. 토폴로지의 일방체는 이미지의 표현이다.

철학자 러셀은 일찍이 이 역설을 진지하게 생각하고 해결책을 찾으려고 시도했다. 그는' 내 철학의 발전' 제 7 장' 수학 원리' 에서 "아리스토텔레스 이후 어떤 학파의 논리학자도 그들이 인정한 전제에서 약간의 모순을 추론할 수 있는 것 같다" 고 말했다. 이것은 문제가 있음을 설명하지만, 시정하는 방법을 지적해서는 안 된다. 1903 의 봄, 모순된 발견 중 하나가 내가 즐기고 있는 논리적 신혼여행을 방해했다.

그는 사기꾼의 역설은 그가 발견한 모순을 간단히 요약했다. "사기꾼은' 내가 말한 것은 모두 거짓이다' 고 말했다. 사실 이것은 그가 말한 것이지만, 이 말은 그가 말한 모든 것을 가리킨다. 이 말을 그 군중 속에 포함시켜야 역설이 생긴다. " (같은 책)

러셀은 계층적 명제를 통해 해결하려고 시도했다. "1 급 명제는 전체 명제를 포함하지 않는 명제라고 할 수 있다. 2 차 명제는 1 차 명제 전체를 포함하는 명제이다. 나머지는, 심지어 무궁하다. " 그러나 이런 방법은 효과를 거두지 못했다. "전체 1903 과 1904 기간 동안 나는 거의 전심전력으로 이 일에 몰두했지만 전혀 성공하지 못했다." (같은 책)

수학 원리는 순수 논리를 전제로 전체 순수 수학을 추론하고, 논리 용어로 개념을 해석하고, 자연언어의 모호성을 피하려고 시도한다. 그러나 이 책의 서문에서 그는 이를 "이렇게 많은 미해결 논란이 포함된 책 한 권을 출판한다" 고 불렀다. 수학 기초 논리에서 이 역설을 철저히 해결하는 것은 쉽지 않다는 것을 알 수 있다.

이어 그는 모든 논리적 역설에는' 반신의 자아 손가락' 이 있다고 지적했다. 즉' 그것은 그 전체에 관한 것을 포함하고 있으며, 이런 것은 전체의 일부분이다' 고 지적했다. (윌리엄 셰익스피어, 윈스턴, 자기관리명언) (윌리엄 셰익스피어, 윈스턴, 자기관리명언). " 이 관점은 아주 잘 이해된다. 이 역설이 박정수 이외의 사람이 말한 것이라면 자동으로 해소된다. 그러나 집합론에서 문제는 그렇게 간단하지 않다.

1-4 바버의 역설

사빌 마을에서 이발사는 간판을 걸었다. "나는 마을에서 스스로 이발을 하지 않는 사람들에게만 이발을 한다." 누군가 그에게 물었다: "너 자신에게 이발을 해 주었니? 클릭합니다 이발사가 갑자기 말문이 막혔다.

이것은 역설이다: 이발사는 이발을 하지 않고 간판에 있는 그런 사람에게 속한다. 약속대로, 그는 자신에게 이발을 해야 한다. 한편 이발사가 스스로 머리를 자르면 간판에 따라 마을에서 스스로 머리를 자르지 않는 사람의 머리만 자르면 그 자신은 자를 수 없다.

그래서 이발사가 아무리 대답해도 내적 갈등을 배제할 수 없다. 이 역설은 러셀이 1902 년에 제기한 것이기 때문에' 러셀 역설' 이라고도 불린다. 이것은 집합론 역설의 통속적이고 이야기가 있는 표현이다. 분명히 피할 수없는 "자기 참조" 문제가 있습니다.

1-5 집합론의 역설

"r 은 자신을 포함하지 않는 모든 컬렉션의 모음입니다."

사람들은 "R 에 R 자체가 포함되어 있나요?" 라고 묻습니다. " 그렇지 않으면 R 의 정의에 따라 R 은 R 에 속해야 하고 R 이 자신을 포함하면 R 은 R 에 속하지 않습니다.

러셀의 집합론 역설이 수학적 기초에 문제가 있다는 것을 알게 되자 쿠르트 고델 (체코, 193 1) 은' 불완전한 정리' 를 제시하여 19 세기 말 수학자들을 깨뜨렸다 이 정리는 어떤 공설 시스템도 불완전해서 긍정도 부정도 할 수 없는 명제가 있어야 한다는 것을 지적한다. 예를 들어, 유클리드 기하학에서' 평행선 공리' 에 대한 부정은 몇 개의 비유클리드 기하학을 만들어 냈습니다. 러셀 역설은 또한 집합론의 공리체계가 불완전하다는 것을 보여준다.

1-6 서지 역설

한 도서관은 책 제목 사전을 한 권 편찬했는데, 그 안에는 도서관에서 자신의 책 제목을 나열하지 않은 모든 책들이 열거되어 있다. 그럼 자신의 제목을 나열할까요?

이 역설은 기본적으로 바버의 역설과 일치한다.

1-7 소크라테스의 역설

소크라테스 (기원전 470-399 년), 아테네 사람들은' 서구 공자' 라고 불리며 고대 그리스의 위대한 철학자로, 유명한 궤변가 프루트 고라스, 고기스 등과 대립했다. 그는 궤변가의 곤혹스러운 수사와 싸우기 위해' 정의' 를 세우고 수백 가지의 잡다한 이론을 찾아냈다. 그러나 그의 도덕관념은 그리스인들에 의해 받아들여지지 않았고, 그가 70 세 때 궤변파의 대표로 여겨졌다. 프루트 고라스를 추방하고 책을 불태운 지 12 년 후 소크라테스도 처형되었지만, 그의 이론은 플라톤과 아리스토텔레스에 의해 계승되었다.

소크라테스는 "나는 한 가지만 알고 있다. 그것은 아무것도 모른다는 것이다." 라는 명언이 있다.

이것은 역설이다. 우리는 소크라테스가 이 일 자체를 모른다고 추측할 수 없다. 고대 중국에도 비슷한 예가 있습니다.

1-7 "말이 모순으로 가득하다"

이것은 장자가' 장자 만물론' 에서 말한 것이다. 후기 묵가는' 만물이 진리를 반대한다면' 장자의 설법은 반진리가 아닌가? 우리는 종종 이렇게 말합니다.

1-7 "세상에 절대적인 진리는 없다"

우리는 이 말 자체가' 절대진리' 인지 아닌지 모르겠다.

1-8 "터무니없는 진실"

일부 사전에서는 역설을' 터무니없는 진리' 로 정의하는데, 이런 모순 수정 자체도' 압축된 역설' 이다. Paradox 는 "많이 생각하다" 를 의미하는 그리스어 "para+dokein" 에서 유래했다.

이 예들은 모두 논리적으로 그들은 자기손가락의 개념에 따른 악순환에서 벗어날 수 없다는 것을 보여준다. 더 이상의 해결책이 있습니까? 우리는 다음 절의 마지막 부분에서 토론을 계속할 것이다.

(b) 무한 역설 도입

묵자경설협' 에는 "남쪽은 가난하고 고갈될 수 있다" 는 말이 있다. 무궁무진하다. " 무한을 제한적으로 도입하면 역설을 일으킬 수 있다.