가우스의 자기법칙 유도, 자기단극의 존재를 어떻게 부정하는가?

Maxwell의 방정식은 전기와 자기의 상호 작용을 매우 우아하고 수학적으로 간결하게 설명합니다. 이러한 방정식 중에서 가우스의 자기 법칙은 전자기파와 전도성 매체 사이의 상호 작용을 이해하는 데 매우 중요합니다. 하지만 이 법칙은 종종 간단한 형태로 쓰여집니다:

자연에 자기 단극의 존재를 부정합니다. 요금에 관해서는 일반적으로 긍정적이거나 부정적인 것으로 생각할 수 있습니다. 이런 의미에서 공간의 모든 전하를 합산하면 항상 순 전하 또는 0(중립 전하)이 됩니다. 자기의 경우에는 그렇지 않습니다. 자석에는 항상 북극과 남극이라는 두 개의 극이 있습니다. 막대 자석을 반으로 자르더라도 두 개의 "단극"을 얻을 수 없습니다. 대신에 각각 고유한 북극과 남극이 있는 두 개의 작은 막대 자석이 제공됩니다. 따라서 표면을 통해 순 자속을 측정하려고 하면 항상 0이 됩니다. 이는 자기 단극이 있을 수 없다는 것을 의미합니다. 그렇지 않으면 자속은 0이 아닌 다른 값이 됩니다.

이 작은 방정식의 중요성에도 불구하고 물리학과 공학을 전공하는 학생들은 이 방정식이 어떻게 형성되는지, 수학적으로 어떻게 구현되는지 모르는 경우가 많습니다. 이 글에서는 이 놀라운 결과를 이끌어낸 단계를 안내해 드리겠습니다.

방정식 (1)을 도출하는 방법에 대한 논의를 시작하려면 먼저 자기장이 어떻게 형성되는지 이해해야 합니다. 수세기 전의 작은 경험적 관찰부터 시작하십시오. 모든 자기장은 이동하는 전하의 결과입니다. 이런 의미에서 물체의 각 원자는 핵 주위의 전자 이동으로 인해 발생하는 자체 자기장을 갖지만 시간이 지남에 따라 방향이 매우 빠르게 변합니다.

재료의 자기 현상을 완전히 설명하려면 통계 역학을 연구해야 합니다(이 기사의 범위를 벗어납니다). 이제 우리는 거시적 규모의 자기장에 초점을 맞출 것입니다. 기본적인 관찰부터 시작하겠습니다. 전류 I = dq/dt는 전도성 물질을 따라 전자가 이동하면서 생성됩니다. 무시할 수 있는 너비의 와이어를 잡고 중앙 기준점(예: 원점)을 중심으로 임의의 방식으로 공간에 루프를 형성하면 전류 I는 항상 한 방향, 즉 와이어 자체의 접선 방향으로 흐릅니다. 그런 다음 모든 점에서 접선 방향을 갖는 극소 와이어 요소 dl을 정의하겠습니다. 실험적 증거에 따르면, 움직이는 전류는 운동 방향에 수직인 자기장을 생성합니다(따라서 오른손 법칙이라고 함). 이 사실과 전류에 의해 발생하는 자기장의 강도에 대한 실험식을 고려하면 I는 다음과 같습니다.

여기서 r은 전류 소스(도선)로부터의 거리입니다. 이제 와이어 dl의 각 요소의 기여를 고려하여 전체 자기장을 설정합니다. 이를 위해 와이어의 접선 성분과 위치 벡터 사이의 외적에 의해 제공되는 각 지점의 자기장의 방향을 고려합니다.

여기서

는 r-r'을 가리키는 단위 벡터입니다. 여기서, r은 좌표계에 대한 변위 벡터이고, r'은 와이어의 각 지점에서 극소 요소 d l 의 위치입니다. 마지막으로 이 모든 식을 종합하면 다음과 같습니다.

이제 전선의 전체 길이에 걸쳐 이 방정식의 양변을 적분하면 자기장에 대한 식을 얻을 수 있습니다.

이는 다음과 같습니다. 흔히 비오-사바르 법칙(Biot-Savart Law)이라고 불립니다. 이것이 가우스의 자기법칙을 도출하는 출발점이 될 것입니다.

이제 공간 위치의 함수로서 자기장에 대한 주요 표현 중 하나를 소개했으므로 공간의 모든 지점에서 자기장의 발산에 어떤 일이 일어나는지 고려할 수 있습니다.

먼저 벡터 미적분학의 몇 가지 매우 중요한 속성을 정의합니다.

이를 통해 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

또한 다음 표현식을 도출합니다.

p>

또한 스칼라 삼중곱 항등식을 활용합니다.

결과는 다음과 같습니다.

이 시점에서 다음 사실을 고려할 수 있습니다.

및 =0, 벡터와 벡터 자체의 외적을 취하므로 다음과 같은 결론을 내립니다.

반면에 다음 관계가 성립함을 알 수 있습니다.

몇 가지 기본적인 계산을 통해 다음 두 가지 결과가 참이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

마지막으로 이 모든 용어를 단순화하면 자기장 발산의 결과를 얻을 수 있습니다.

알려진 자기장에 대한 가우스의 법칙. 이것이 무엇을 의미하는지는 분명하지 않지만 발산 정리(divergence theorem)를 적용하면

임의의 표면을 통과하는 총 자속이 정확히 0이어야 한다는 것을 알 수 있습니다. 이것으로부터 우리는 애초에 측정할 자속이 없기 때문에 자기 단극이 없어야 한다고 추론합니다. 대신, 반대 극으로 인해 항상 0이 되는 단일 자기 쌍극자 주변의 자속만 측정할 수 있습니다.