미적분학이란 무엇인가요?

소위 미적분학은 일반적으로 수학의 중요한 분야인 미적분학을 말합니다.

1. 미적분학이란 무엇입니까?

미적분학(Calculus, 라틴어로 계산에 사용됨)은 극한, 미분, 적분, 무한 급수에 대한 연구입니다. 이는 현대 대학 교육의 중요한 부분이 되었습니다. 역사적으로 미적분학은 무한소 계산을 지칭하는 데 사용되었습니다. 더 본질적으로, 미적분학은 변화의 과학입니다. 기하학이 형태의 과학이고 대수학이 대수 연산과 방정식의 해법인 것처럼 말이죠.

미적분학은 대수학만으로는 효과적으로 풀 수 없는 문제를 해결하기 위해 과학, 경제, 공학 분야에서 널리 사용됩니다. 미적분학은 대수학, 삼각법, 해석기하학을 기반으로 하며 미적분학과 적분학이라는 두 가지 분야를 포함합니다. 미분법은 도함수 연산을 포함하며 변화율에 관한 이론입니다. 이를 통해 공통 기호 세트를 사용하여 곡선의 함수, 속도, 가속도 및 기울기를 추론할 수 있습니다. 적분 연산을 포함한 적분법은 면적, 부피 등을 정의하고 계산하는 일반적인 방법을 제공합니다. 미적분학의 기본 정리는 미분과 적분이 서로 역연산이라고 명시하고 있으며, 이것이 두 이론이 미적분학으로 통합된 이유입니다. 미적분학은 둘 중 하나로 시작해서 논의할 수 있지만 일반적으로 교육에서는 미분학을 먼저 소개합니다. 수학의 더 깊은 영역에서 미적분학은 종종 분석이라고 불리며 함수의 과학으로 정의됩니다.

2. 기본 개념

미적분에는 극한, 미분, 적분의 세 가지 주요 분야가 있습니다. 미적분학의 기본이론은 미분과 적분이 상호연산임을 보여주며, 뉴턴과 라이프니츠가 이 정리를 발견한 이후 다른 학자들도 미적분학에 대해 열성적으로 연구하게 되었습니다. 서로. 이 기본 이론은 또한 많은 적분 문제를 대수적으로 계산하는 방법, 즉 극한 연산 방법을 대체하기 위해 무한 적분 방법을 사용하는 방법을 제공합니다. 이 이론은 또한 미분 방정식의 일부 문제를 풀고 미지수의 적분을 풀 수도 있습니다. 미분 문제는 과학 어디에나 존재합니다.

미적분학의 기본 개념에는 함수, 무한수열, 무한급수, 연속성 등이 포함되며, 연산방식에는 주로 기초대수학 및 수학적 귀납법과 밀접하게 연관된 기호연산기법이 포함됩니다.

미적분학은 미분방정식, 벡터 분석, 변분학, 복소 분석, 시간 영역 미분, 미분 토폴로지 등의 분야로 확장됩니다. 미적분학의 현대 버전은 실제 분석입니다.

3. 미적분학의 역사

(1) 고대

고대 수학의 사고는 통합에 더 치중했지만 엄격하고 체계적이지는 않았습니다. . 통합 작업 중 하나, 즉 부피와 면적 계산은 이집트 모스크 파피루스(기원전 1820년)에서 찾을 수 있습니다. 그 공식도 매우 간단하고 방법이 작성되지 않았으며 주요 구성 요소가 불완전합니다. 적분의 기원은 매우 이르다. 고대 그리스 시대에 Eudoxus(기원전 408-355년)는 특수 인물의 영역을 연구하기 위해 철저한 방법을 사용했습니다. 아르키메데스(기원전 287-212년)는 내접된 정다각형의 원주를 사용하여 원의 원주를 계산하여 대략적인 파이 값을 얻었습니다. 그는 또한 일련의 삼각형을 사용하여 포물선 도형을 채워 면적을 얻었습니다. 이는 철저한 방법의 고전적인 예입니다. 중국의 유휘(劉惝)도 서기 3세기경 원의 넓이를 구하기 위해 철저한 방법을 적용했다. 서기 5세기경, Zu Chongzhi는 Cavalieri의 공식이라고도 불리는 구의 부피를 계산하는 알고리즘을 고안했습니다.

(2) 현대

현대 미적분학 이론 발전의 원동력 중 하나는 '접선 문제'를 해결하는 것이고, 다른 하나는 '면적 문제'입니다.

르네상스 이후에는 실질적인 요구와 이론적 논의를 바탕으로 통합 기술이 더욱 발전했습니다. 예를 들어, 탐색의 편의를 위해 Gerardus Mercator는 소위 Mercator 투영 방법을 발명하여 지도의 직선이 탐색 중에 방향을 유지하는 대각선이 되도록 했습니다. 유럽에서는 부피와 면적은 극미한 단면적을 합해 계산해야 한다는 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Cavalieri)의 근본적인 주장이 나왔다. 그의 사상은 아르키메데스의 방법에 관한 담론과 비슷했지만, 카발리에리의 원고는 20세기 초에 발견될 때까지 분실되었습니다.

Cavalieri의 노력은 그의 방법의 오류가 엄청났고 당시에는 극소량을 심각하게 받아들이지 않았기 때문에 인정받지 못했습니다.

17세기 전반은 미적분학의 잠복기였습니다. 개념이 탐구되고, 계산이 개인화되고, 응용이 개인화되었습니다. 그 후 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)와 아이작 뉴턴(Isaak Newton)은 거의 동시에 미적분학의 개념을 성숙시켰고, 미적분학과 적분학의 관계를 명확히 하고, 계산을 체계화했으며, 미적분학을 기하학과 물리학 연구에 대규모로 사용했습니다.

미적분학을 창시하기 전에는 미적분학과 적분학을 독립된 과목으로 여겼고, 그 이후에는 미적분학이라는 과목이 실제로 분리되었습니다.

피에르 드 페르마는 미적분학에 대한 공식적인 연구에서 디오판투스의 업적을 차용해 극소 오류에 해당하는 '충족성' 개념을 도입했다고 주장했습니다. 두 사람의 긴밀한 관계를 제대로 감상하지 못한 것은 안타까운 일이다. John Wallis(수학자), Isaac Barrow, James Gregory가 조합 논증을 완성했습니다. 뉴턴의 스승인 아이작 배로우(Isaac Barrow)는 둘 사이에 상호 관계가 있다는 것을 알고 있었지만 이 관계의 의미를 이해할 수 없었습니다. 그 이유 중 하나는 도함수에 대한 체계적인 계산 방법이 없었기 때문입니다. 고대 그리스 평면 기하학의 성공은 서양 수학에 깊은 영향을 미쳤습니다. 일반적으로 기하학적 증명 방법만이 엄격하고 실제적인 수학이며 대수학은 보조 도구에 지나지 않는다고 믿어집니다. 이러한 태도가 점차 변한 것은 데카르트와 페르마가 기하학적 문제를 연구하기 위해 대수적 방법의 사용을 옹호한 이후였습니다. 그러나 한편으로는 기하학적 사고방식이 사람들의 마음속에 깊이 뿌리박혀 있는 반면, 다른 한편으로는 대수적 방법이 아직 미성숙하고 실수 체계가 확립되지 않았기 때문에 많은 수학자들이 여전히 기하학적 사고방식을 고수하고 있습니다. Barrow는 그 중 하나입니다. 뉴턴은 스승의 순수한 기하학적 관점을 버리고 효과적인 미분법을 개발했지만 감히 그것을 출판하지는 못했습니다. 뉴턴은 미적분학 기술을 사용하여 만유 인력과 운동 법칙에 기초한 우주 시스템을 설명하고 천체의 운동, 유체 회전 표면, 지구의 편구도 및 무거운 물체의 운동과 같은 문제를 해결했습니다. 사이클로이드. 뉴턴은 수학 물리학 문제를 풀 때 계산을 수행하기 위해 고유한 기호를 사용했습니다. 실제로 이것들은 곱의 법칙, 연쇄 법칙, 고차 도함수, 테일러 급수 및 해석 방정식입니다. 그러나 그는 당시 사람들의 비판을 두려워하여 여전히 1687년의 걸작 『자연철학의 수학적 원리』에서 미적분학의 흔적을 지우고 고전기하학적 논증을 활용하여 논의하였다. 다른 글에서 뉴턴은 분수와 거듭제곱된 무리수를 사용했으며, 뉴턴이 테일러 급수의 법칙을 알고 있었음이 분명합니다. 그러나 그는 당시에도 극미량에 대한 논란이 있었기 때문에 이러한 발견을 발표하지 않았습니다.

위의 아이디어는 뉴턴이 표절 혐의로 고발한 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)의 진정한 무한소 버전의 미적분학에 통합되었습니다. 라이프니츠는 오늘날 미적분학의 또 다른 독립적인 발명자로 간주됩니다. 그의 공헌은 미분과 적분의 형태로 곱의 규칙과 연쇄 규칙을 제공하여 2차 이상의 도함수 계산을 용이하게 하는 엄격한 스타일이었습니다. 뉴턴과 달리 라이프니츠는 형식에 큰 관심을 기울였으며 종종 적절한 기호에 대해 매일같이 작업했습니다.

라이프니츠와 뉴턴은 둘 다 미적분학의 독립적인 발명가로 간주됩니다. 뉴턴은 미적분학을 일반물리학에 최초로 적용한 사람이고, 라이프니츠는 오늘날의 기호 대부분을 만들어 냈습니다. 뉴턴과 라이프니츠는 모두 미분과 적분의 기본 방법, 2차 또는 고차 도함수, 시퀀스 근사 기호 등을 제공했습니다. 뉴턴 시대에는 미적분학의 기본 공식이 이미 세상에 알려져 있었습니다.

뉴턴과 라이프니츠가 각각의 결과를 처음 발표했을 때 수학계에서는 미적분학 발명의 소유권과 우선권을 두고 오랜 논쟁이 벌어졌습니다. 자신의 결론에 최초로 도달한 사람은 뉴턴이었고, 그 결론을 발표한 사람은 라이프니츠였습니다. 뉴턴은 라이프니츠가 자신의 미출판 원고를 표절했다고 주장했는데, 이는 뉴턴 자신의 왕립학회가 지지하는 견해였습니다. 이 큰 논쟁은 수학자들을 두 그룹으로 나눌 것입니다. 한 그룹은 뉴턴을 옹호하는 영국 수학자이고 다른 그룹은 유럽 대륙의 수학자입니다. 그 결과는 영국 수학자들에게 나빴습니다. 미래의 신중한 검증을 통해 뉴턴과 라이프니츠는 독립적으로 자신의 결론에 도달했습니다. 라이프니츠는 적분에서, 뉴턴은 미분에서 파생되었습니다. 오늘날 뉴턴과 라이프니츠는 미적분학을 발명한 두 명의 독립 작가로 알려져 있습니다. "미적분학"이라는 이름과 사용된 산술 기호는 라이프니츠가 만든 반면, 뉴턴은 이를 "미적분학"이라고 불렀습니다.

미적분학은 많은 사람들에 의해 지속적으로 개선되어 왔으며 Barro, Descartes, Fermat, Huygens 및 Wallis의 공헌과 불가분의 관계에 있습니다. 유한소와 무한소 분석에 관한 최초의 완전한 연구는 1748년 마리아 아그네시(Maria Agnesi)에 의해 요약되고 편집되었습니다. 뉴턴과 라이프니츠는 미적분학을 체계화했지만 여전히 충분히 엄격하지 않았습니다. 그러나 미적분학은 많은 문제를 해결하는 데 성공적으로 사용되었지만 18세기 수학자들은 미적분학의 적용보다는 엄밀성에 열중했습니다. 그 당시 미적분학의 발전은 다행스럽게도 오일러(Euler), 라그랑주(Lagrange), 라플라스(Laplace), 달랑베르(d'Alembert) 및 베르누이 가문(Bernoulli family)과 같은 소수의 뛰어난 수학자들의 손에 있었습니다. 연구문제는 자연현상에서 나오므로 미적분학의 많은 추론은 자연현상의 데이터로 검증할 수 있어 기초가 불안정하여 미적분학에 오류가 발생하지 않습니다. 이들 수학자들의 손에서 미적분학의 범위는 현재 대학 초기 단계에서 가르치는 미적분학 강좌를 빠르게 뛰어넘어 더욱 발전된 분석과학으로 나아갔습니다.

출처: 위키피디아.