수학 지수 함수, 거듭제곱 함수, 로그 함수의 모든 속성과 공식

지수함수 이미지 예시 지수함수의 일반적인 형태는 y=a^x(a>0 and ≠1) (x∈R) 입니다. 이는 실수장에서 정의된 단조적이고 아래쪽으로 볼록하며 무한 미분 가능 양수 함수입니다.

목차

수학적 용어

...밑의 번역:

밑과 지수 함수의 그래프:

거듭제곱 비교:

영역: 실수 집합

R 범위: (0, +무한대)

분수 단순화 방법 및 기법

지수함수 이미지와 지수함수 속성의 대응

수학 용어 편집

지수함수는 수학에서 중요한 함수입니다. 값 e에 적용되는 이 함수는 exp(x)로 작성됩니다. 또한 e와 동일하게 쓸 수 있습니다. 여기서 e는 자연 로그의 밑이 되는 수학 상수로, 대략 오일러 수라고도 알려진 2.718281828과 같습니다. 지수 함수는 x의 음수 값에 대해 매우 평탄하고 x의 양수 값에 대해 빠르게 상승하여 x가 0일 때 1과 같습니다. x에서 접선의 기울기는 y에 lna를 곱한 값과 같습니다. 즉, 파생 지식으로부터: d(a^x)/dx=a^x*ln(a). 실수 변수 x의 함수로서 y=ex의 그래프는 항상 양수(x축 위에서)이고 증가합니다(왼쪽에서 오른쪽으로 볼 때). 임의로 가까워질 수는 있지만 결코 x축에 닿지 않습니다(따라서 x축은 이 그래프의 수평 점근선입니다. 그 역함수는 모든 양수 x에 대해 정의되는 자연 로그 ln(x)입니다. 때때로, 특히 과학에서 지수 함수라는 용어는 kax

형식의 지수 함수에 대해 더 일반적으로 사용됩니다. 여기서 a는 "기본"이라고 불리며 1과 같지 않은 양의 실수입니다. 이 기사는 처음에 지수 함수의 일반적인 형태는 y=a^x(a>0 및 ≠1)(x∈R)입니다. x가 전체 실수 집합을 정의역으로 취하려면 a의 다양한 크기가 함수 그래프에 영향을 미친다는 사실을 그림에서만 볼 수 있습니다. 함수 y=a^x에서 볼 수 있습니다. : (1) 지수. 함수의 정의역은 모든 실수의 집합입니다. 여기서 전제는 a가 0보다 크고 1과 같지 않다는 것입니다. a가 0보다 크지 않은 경우에는 필연적으로 함수 영역에는 연속 간격이 없으므로 동시에 0과 같은 함수는 고려되지 않습니다. (2) 지수 함수의 값 범위는 다음보다 큰 실수 집합입니다. 0. (3) 함수 그래프는 모두 아래쪽으로 볼록합니다. (4) a가 1보다 크면 지수함수는 단조 증가하고, 0보다 크면 단조 감소하는 것을 볼 수 있습니다. 분명한 규칙은, 즉 a가 0에서 무한대로 갈 때 지수 함수의 과정에 있다는 것입니다(물론 0과 같을 수는 없습니다). 함수의 곡선은 단조 감소하는 함수의 위치에서 시작됩니다. Y축의 양의 반축에 가깝고 X축은 각각 Y축의 양의 반축과 X축의 음의 반축에 가까운 단조 증가 함수의 위치에 가깝습니다. 직선 y=1은 감소에서 증가로의 전환 위치입니다. (6) 함수는 항상 특정 방향으로 무한히 X축을 향하고 결코 교차하지 않습니다. (y=a^x+b인 경우 함수는 다음과 같습니다. (0,1+b) 지점을 통과합니다. (8) 분명히 지수 함수는 무한합니다. (9) 지수 함수는 홀수 함수도 아니고 짝수 함수도 아닙니다. (10) 두 지수 함수 중 a가 역수인 경우. (11) 지수함수에서 독립변수와 종속변수를 하나씩 매핑하면 지수함수는 역함수를 갖는다.

이 단락을 편집하세요... 기본 번역:

의미 있는 지수 함수의 경우: 지수에 숫자를 추가하면 그래프가 왼쪽으로 이동합니다. 숫자를 입력하면 이미지가 오른쪽으로 이동합니다. f(X) 뒤에 숫자를 추가하면 이미지가 위쪽으로 이동하고 이미지가 아래쪽으로 이동합니다.

즉, "더하기와 아래로 빼기, 왼쪽으로 더하기와 오른쪽으로 빼기"

이 단락에서 밑과 지수 함수의 이미지를 편집하세요:

지수 함수

(1) 지수 함수 y=a^x는 점 (1, a)에서 직선 x=1과 교차합니다. y축의 오른쪽이 이미지의 해당 기준임을 알 수 있습니다. 아래에서 위로 작은 것에서 큰 것으로 변합니다. (2) 지수함수 y=a^x와 직선 x=-1의 (-1, 1/a) 지점의 교점에서 y축 왼쪽에, 이미지의 해당 기본은 아래에서 위로 큰 것에서 작은 것으로 변경됩니다. (3) 지수 함수의 밑과 이미지 사이의 관계는 다음과 같이 요약할 수 있습니다. y축의 오른쪽은 "밑이 크고 y의 왼쪽은 이미지가 높습니다." -축, "베이스가 크고 이미지가 낮다". (오른쪽 그림과 같이)》.

제곱의 크기를 비교하려면 이 단락을 편집하세요.

크기를 비교하는 일반적인 방법: (1) 차이(몫) 방법: (2) 함수 단조성 방법; 값 방법: A와 B의 크기를 비교하려면 먼저 중간 값 C를 찾은 다음 A와 C, B와 C의 크기를 비교하고 부등식의 전이성을 기반으로 A와 B 사이의 크기를 구합니다. 두 거듭제곱의 크기를 비교할 때는 위의 일반적인 방법 외에도 다음 사항에 주의해야 합니다. (1) 밑수가 같고 지수가 다른 두 거듭제곱의 크기를 비교하려면 다음의 단조성을 사용할 수 있습니다. 판단하는 지수함수. 예: y1=3^4, y2=3^5, 3이 1보다 크기 때문에 함수는 단조롭게 증가합니다(즉, x 값이 클수록 해당 y 값도 커짐). 4이므로 y2는 y1보다 큽니다. (2) 밑수가 다르고 지수가 동일한 두 거듭제곱의 비교를 위해 지수 함수 이미지의 변화 규칙을 사용하여 지수 함수를 판단할 수 있습니다. 예: y1=1/2^4, y2=3^4, 1/2가 1보다 작기 때문에 함수 이미지는 영역에서 단조롭게 감소합니다. 3은 1보다 크므로 함수 이미지는 영역에서 단조롭게 증가합니다. , x=0에서 두 함수의 그래프는 (0, 1)을 통과합니다. 그런 다음 x가 증가하면 y1 그래프가 감소하고 x가 4와 같을 때 y2는 y1보다 큽니다. 밑수와 다른 지수 거듭제곱의 크기를 비교하려면 중간 값을 사용하여 비교할 수 있습니다. 예: <1> 3개(또는 3개 이상) 숫자의 크기 비교의 경우 먼저 값의 크기(특히 0과 1의 크기)에 따라 그룹화한 다음 숫자의 크기를 비교해야 합니다. 각 숫자 그룹. <2> 두 거듭제곱의 크기를 비교할 때 "1"을 최대한 활용하여 "다리"를 건설할 수 있다면(즉, 그 크기를 "1"과 비교하는 것) 빠르게 답을 얻을 수 있습니다. 그렇다면 거듭제곱과 "1"의 크기를 판단하는 방법은 무엇입니까? 지수함수의 이미지와 성질을 보면 "크지만 작다"는 것을 알 수 있다.

즉 밑수 a와 1과 지수 x와 0 사이의 부등호가 같은 방향에 있는 경우(예: a 〉1 및 x 〉0, 또는 0 〈 a 〈 1 및 x 〈 0), a^ x는 1보다 크고, 반대 방향일 때 a^x는 1보다 작습니다. <3> 예: 다음 함수는 R에서 함수를 증가시키는 함수인가요, 감소하는 함수인가요? 이유를 설명하세요. 4>1이므로 y=4^x는 R에서 증가 함수입니다. ⑵y=(1/4)^x 0<1/4<1이므로 y=(1입니다. / 4)^x는 R의 감소 함수입니다.

이 단락의 영역을 편집하세요: 실수의 집합

모든 실수를 나타냅니다

편집 이 단락에서 R의 범위: (0, +무한대)

이 단락에서 분수 단순화 방법과 기술을 편집합니다.

(1) 분자와 분모를 인수분해하고 축소합니다. (2) 공식의 기본 속성을 사용하여 복소수를 단순화된 분수로 변환하고, 다른 분모를 동일한 분모로 변환합니다. (3) 적절한 분수를 먼저 단순화하고 지수 함수에 중점을 둡니다.

(4) 전반적인 아이디어를 고려하고 대체 방법을 사용하여 분수를 단순화할 수 있습니다

이 단락에서 지수 함수의 이미지와 지수 함수의 속성 간의 대응 관계를 편집합니다

(1) 곡선 x축을 따라 왼쪽으로 무한히 확장되는 〈=> 함수의 정의역은 (-무한대, +무한대)입니다. (2) 곡선은 x축 위에 있으며, x 값이 감소하거나 증가함에 따라 왼쪽 또는 오른쪽으로 무한히 이동합니다.

> 근처 x=0일 때 함수 값 y=a0(제로 거듭제곱)=1(a>0) 및 a≠1) (4) a>1일 때 곡선은 왼쪽에서 오른쪽으로 점차 상승합니다. 즉, a>1일 때 함수는 (-무한대, +무한대)는 증가 함수입니다. , 곡선은 점차적으로 감소합니다. 즉, 0